[ Pobierz całość w formacie PDF ]

pozytywnej. Wszystkie istotne pojęcia geometrii nieprzemiennej pochodzą nie wprost ze zwykłej geometrii (bo
wówczas geometria nieprzemienną byłaby bezużyteczna), lecz są wynikiem uogólnienia. Pamiętajmy, że twórcze
uogólnianie pojęć w matematyce  i w postępującej w ślad za nią fizyce  polega na tym, że nowe pojęcie musi być
radykalnie nowe, ale musi też w jakimś sensie zawierać w sobie starą treść; nowa teoria w pewnych sytuacjach musi
przechodzić w swą poprzedniczkę. Czy w geometrii nieprzemiennej można mówić o tego rodzaju uogólnieniu
dynamiki?
Wiemy, że cały zasób wiadomości o nieprzemiennej przestrzeni mieści się w odpowiedniej nieprzemiennej
algebrze. W zasobie tym na ogół nie ma żadnej informacji o punktach, ich otoczeniach i innych pojęciach lokalnych,
jest natomiast informacja o stanach przestrzeni nieprzemiennej. Wynika stąd, że nie możemy się spodziewać
dynamiki, która polegałaby na zmianie "z miejsca na miejsce" i "od chwili do chwili", jednakże jakaś globalna
aktywność układu nie jest z góry wykluczona. Ale jak ją matematycznie opisać?
Ażeby odpowiedzieć na to pytanie, musimy powrócić do zwykłej dynamiki przemiennej. Zauważyliśmy, że w opisie
dynamiki ważną rolę odgrywają siły. To one decydują o tym, że mówienie o dynamice jest w ogóle możliwe.
Pamiętamy (być może jeszcze ze szkoły średniej), że siłę można przedstawić w postaci wektora. Wektor to niezwykle
użyteczne matematyczne pojęcie, ale wyobrażanie sobie wektora jako strzałki zaczepionej w jakimś punkcie, choć
czasem pożyteczne, bywa mylące. Strzałka to coś statycznego, podczas gdy wektor jest  właśnie!  pełen dynamiki.
Na przykład prędkość jest również wektorem, a prędkość to przecież niejako sama istota zmiany.
Po tych wyjaśnieniach nie będzie dla nas zaskoczeniem, że układ dynamiczny można opisać na dwa różne, ale
równoważne sposoby: albo za pomocą parametru czasu i sił, albo przy użyciu jednej tylko matematycznej struktury 
pola wektorowego sil. Jeżeli w każdym punkcie jakiejś przestrzeni znajduje się określony wektor, który opisuje, co i w
jakim tempie dzieje się w tym punkcie, to mówimy, że zostało określone pole wektorowe. Jeśli jest to pole wektorów
reprezentujących siły, mamy do czynienia z dynamiką.
Zwróćmy uwagę, że wprawdzie pojęcie pola wektorowego odwołuje się do pojęcia punktów (wektory są
zaczepione w punktach), ale zawiera także aspekt nielokalny: pole rozciąga się na całą przestrzeń lub na jakiś jej
obszar. I właśnie ten nielokalny aspekt pola wektorowego nadaje się do nieprzemiennego uogólnienia. W geometrii
nieprzemiennej nie pojawi się odpowiednik wektora, bo Jest to pojęcie lokalne, ale może istnieć odpowiednik pola
wektorowego  bo pojęcie to zawiera w sobie aspekt nielokalny. Przejdz
my do matematycznych uściśleń.
Mając algebrę nieprzemienną A, można zdefiniować zbiór jej derywacji (w języku polskim używa się niekiedy
określenia "zbiór różniczkowań"). Derywacja to pewne działanie, które jeden element algebry A przekształca w inny jej
element; działanie to ma ponadto własności przypisywane w geometrii różniczkowej polom wektorowym (Jest liniowe i
spełnia regułę Leibniza). Wydaje się więc rzeczą całkiem naturalną, by derywacje uznać za nieprzemienny
odpowiednik pól wektorowych. Okazuje się, że Jest to trafna decyzja. Nieprzemienną algebra A wraz ze zbiorem
swoich derywacji tworzy nie tylko nieprzemienny odpowiednik geometrii, lecz także coś więcej  odpowiednik
geometrii różniczkowej. Pozwala to zdefiniować nieprzemienną dynamikę. Postępuje się tak jak w wypadku dynamiki
przemiennej, konsekwentnie zastępując pola wektorowe derywacjami algebry A. Co więcej, procedurę tę można
zastosować również do algebry przemiennej; wówczas derywacje stają się dobrze nam znanymi, tradycyjnymi polami
wektorowymi i cała konstrukcja, zgodnie z zamierzeniem, przechodzi w zwykłą dynamikę z siłami i czasem.
Tak oto pojawia się niezmiernie interesujący wniosek: w geometrii nieprzemiennej nie ma niczego, co można by
zinterpretować jako czas (w zwyczajnym jego rozumieniu), ale istnieje autentyczna dynamika. Na czym ona polega?
Trudno to opisać słowami. Potęga matematyki tkwi właśnie w jej zdolności ujmowania tego, co jest niewyrażalne
poprzez język. Jednakże pilnie śledząc logikę matematycznej struktury, możemy sobie wyrobić pewien pogląd na
temat istoty zagadnienia. Jak już wiemy, za nieprzemienną dynamikę odpowiadają derywacje algebry A, derywacja
zaś przekształca jeden element algebry A w inny jej element. A zatem coś się jednak zmienia, istnieje jakaś
aktywność. Ale zmiana ta nie zachodzi ani w czasie, ani w fizycznej przestrzeni. Pojęcia algebry i jej elementów mają
charakter abstrakcyjny i zmiana jednego elementu algebry w drugi także jest pewnym abstrakcyjnym działaniem, ale
takim, który podporządkowuje się podstawowym regułom obowiązującym w każdej dynamice. Jednakże zasadniczo
nie ma żadnej możliwości ponumerowania elementów algebry A i uporządkowania ich według następstwa czasowego.
Jest to abstrakcyjny model dynamiki (w zasadzie wszystkie modele matematyczne są abstrakcjami), ale  jak
twierdzimy  może on okazać się niezmiernie użyteczny w opisywaniu początków fizyki i Wszechświata.
Nie jest więc prawdą to, co głosi wielu filozofów i co intuicyjnie wydaje się nam oczywiste  że brak czasu oznacza
zastój i stagnację. Matematyka bowiem, proponując model bezczasowej dynamiki, zdecydowanie temu przeczy. A
matematykę trzeba traktować poważnie. Jeżeli ona coś proponuje, jest to przynajmniej niesprzeczne, a wiec może
zaistnieć w rzeczywistym świecie.
Czas zależny od stanu
Dobry matematyczny model fizycznego procesu nie tylko ten proces opisuje, lecz w jakimś sensie go naśladuje: w
świecie abstrakcyjnych operacji dzieje się podobnie jak w świecie fizycznym. Tak też jest z naszym modelem
nieprzemiennego reżimu początków Wszechświata. Wniknięcie w strukturę tego modelu pozwala, na przykład,
zrekonstruować proces wyłaniania się czasu (i zwykłej dynamiki) z nieprzemiennej początkowej ery. Aby to jednak
wyjaśnić, musimy poznać jeszcze jedno, proste zresztą pojęcie.
Mając zbiór dowolnych elementów, możemy cześć z nich utożsamić ze sobą. Wskutek tego otrzymamy zbiór mniej
liczny. Jeżeli utożsamień nie wykonamy przypadkowo, lecz biorąc pod uwagę pewną relację między elementami tego
zbioru (utożsamimy na przykład tylko te elementy, które pozostają do siebie w tej relacji, na przykład są podobne do
siebie pod jakimś względem), to takie utożsamienie nazwiemy sklejaniem.
Sklejmy teraz ze sobą pewne elementy algebry A. Niestety, nie możemy wdawać się tu w szczegóły i opisywać,
które konkretnie elementy algebry A skleimy ze sobą. To, co w matematyce da się przedstawić w kilku stosunkowo
prostych wzorach, w języku potocznym zajęłoby wiele stron, zaciemniając istotę zagadnienia. Poprzestańmy zatem na
nazwie i sklejanie, o którym mowa, określmy mianem pierwszego sklejania w algebrze A. W jego wyniku otrzymamy
inną, "mniej liczną" algebrę; oznaczmy ją symbolem A1. Algebra A1 jest niejako uproszczoną wersją algebry A, gdyż
zapomina ona o pewnych informacjach, które w tamtej algebrze były zawarte. Można to zilustrować następującą
analogią: jeżeli na algebrę A popatrzymy przez słabsze niż dotychczas szkło powiększające, to pewne elementy tej
algebry zleją się w jedno, obraz będzie bardziej rozmazany  to jest właśnie algebra A1.
I jeszcze jedna ważna kwestia: przepis na pierwsze sklejanie w algebrze A zależy od stanu, w jakim znajduje się [ Pobierz całość w formacie PDF ]